Автор: misha

Опубликовано

Разбойники и Пьяницы

Три разбойника нашли клад. У каждого из них своё собственное представление о стоимости каждой драгоценности. Как им его разделить?

И более общая формулировка:

Несколько пьяниц хотят распить в подворотне бутылку водки. У них есть только эта самая бутылка и один пустой стакан. К сожалению, у каждого из них своё собственное представление о вместительности бутылки и стакана. Если один из них считает, что в стакане меньше, чем \alpha всего объема, то другой может не согласиться и заявить, что это не так, а как раз наоборот. Тем не менее, каждый из них достаточно разумен, чтобы признать, что если из бутылки отлить меньше, чем \alpha всего объема, то в ней останется больше, чем (1 - \alpha). Как им осуществить задуманное и не переругаться между собой?

Решение

Пусть число пьяниц n. Им нужно выстроиться в очередь. Первый отливает из бутылки 1 / n eё объема и передает следующему. Каждый пьяница, когда получает стакан, должен решить: если он считает, что там не больше 1 / n, он просто передаёт стакан следующему. Если же больше, он отливает назад в бутылку избыток, так, чтобы там осталось ровно 1 / n по его мнению. Стакан выпивает последний из них, кто в него наливал или из него отливал, после этого он уходит домой спать, а остальные продолжают ту же процедуру.

Опубликовано

Гномы и людоеды

Вот такая кровожадная задачка.

Людоеды поймали несколько гномов и обещали наутро часть из них съесть. Чтобы выбрать жертв они собираются выстроить всех гномов в колонну, так чтобы первый видел всех, кроме себя, второй всех, кроме себя и первого и т.д., и надеть всем гномам шапки — белые и чёрные. После этого спросить всех по очереди, начиная с первого, какая у него на голове шапка. Если ответ будет правильный, гнома отпустят, если нет — съедят. Как гномам надо договориться, чтобы удалось спастись максимальному числу из них?

Решение

Первый гном должен сосчитать количество белых шапок, которые он видит и, если оно чётное, сказать «белая», если нечетное — «чёрная». Тогда все остальные гномы, услышав предыдущие ответы, смогут по очереди вычислить свой цвет и спасутся. Первого съедят в вероятностью 50%.

Опубликовано

Точки пересечения

Сколько точек пересечения у графиков функций y = a^x и y = log_a{x} ?

Решение

Казалось бы ответ очевиден, при a > 1 могут быть две, или одна точка касания, или ни одной.

А вот когда 0 < a < 1 ?

Тут уже не все так просто. На первый взгляд, графики всегда пересекаются ровно в одной точке.

Rendered by QuickLaTeX.com

Но давайте возьмем, например a = 1/16, x = 1/2

{1/16}^{1/2} = 1/4
log_{1/16}{1/2} = 1/4

Вот одна точка пересечения. Ну, а если взять a = 1/16, x = 1/4

{1/16}^{1/4} = 1/2
log_{1/16}{1/4} = 1/2

А вот и другая — что-то здесь не так. Оказывается при достаточно маленьких a графики пересекаются в трех точках!

Rendered by QuickLaTeX.com

Опубликовано

Школьный дневник

Удивительно, как вещи, с которыми имеешь дело в детстве, оказывают свое неизгладимое влияние на все твое последующее мироощущение. Приведу только один пример — школьный дневник. Наверное, у всех советских школьников 70-х годов были такие дневники.

Я давно уже поймал себя на том, что мысленно представляю себе неделю именно так: шесть дней в два столбика по три дня, а воскресенье где-то болтается виртуально, среда — в самом низу левого столбика, а четверг на верху правого.

Как же этот образ сильно въелся — на всю жизнь.

Опубликовано

Поднятие веревки

Есть такая детская задачка: земной шар плотно плотно обвязали веревкой прямо по экватору. Потом в эту веревку в каком-то месте вставили еще метр и равномерно подняли над землей. Спрашивается, проползет ли теперь под веревкой муравей?

Решение

Ответ по началу кажется невероятным. Оказывается, веревка поднимется по всей длине земного экватора на целых 1m / 2\pi \approx 16cm.

А недавно мой племянник-математик подсказал новую вариацию на ту же тему: если отказаться от равномерного поднятия веревки надо всем экватором, а поднимать только в одном месте, в Африке, то сколько веревки надо вставить, чтобы там пролез слон?

Решение

Здесь уже без калькулятора не обойтись, но ответ тоже поразителен:

Если радиус Земли R = 6 400 000m, а поднять мы хотим, скажем, на высоту h = 10m (высота африканского слона не превышает пяти метров), то получится:

Длина касательной s = \sqrt{\left(R+h\right)^{2}-R^{2}} \approx 11 313.713 m \approx 11.3km

Угол между радиусами к точке касания и к точке поднятия \alpha = \arctan \left(s/R\right) \approx 0.0017677658

Длина куска веревки, который нужно вставить: x = 2\left(s - R \alpha\right) \approx 0.023570209m \approx 2.4cm