Задачки — Страница 2

23.08.202024.08.2020

Разбойники и Пьяницы

Три разбойника нашли клад. У каждого из них своё собственное представление о стоимости каждой драгоценности. Как им его разделить?

И более общая формулировка:

Несколько пьяниц хотят распить в подворотне бутылку водки. У них есть только эта самая бутылка и один пустой стакан. К сожалению, у каждого из них своё собственное представление о вместительности бутылки и стакана. Если один из них считает, что в стакане меньше, чем $\alpha$ всего объема, то другой может не согласиться и заявить, что это не так, а как раз наоборот. Тем не менее, каждый из них достаточно разумен, чтобы признать, что если из бутылки отлить меньше, чем $\alpha$ всего объема, то в ней останется больше, чем $(1 - \alpha)$ . Как им осуществить задуманное и не переругаться между собой?

Решение

Пусть число пьяниц $n$ . Им нужно выстроиться в очередь. Первый отливает из бутылки $1 / n$ eё объема и передает следующему. Каждый пьяница, когда получает стакан, должен решить: если он считает, что там не больше $1 / n$ , он просто передаёт стакан следующему. Если же больше, он отливает назад в бутылку избыток, так, чтобы там осталось ровно $1 / n$ по его мнению. Стакан выпивает последний из них, кто в него наливал или из него отливал, после этого он уходит домой спать, а остальные продолжают ту же процедуру.

21.08.202024.08.2020

Гномы и людоеды

Вот такая кровожадная задачка.

Людоеды поймали несколько гномов и обещали наутро часть из них съесть. Чтобы выбрать жертв они собираются выстроить всех гномов в колонну, так чтобы первый видел всех, кроме себя, второй всех, кроме себя и первого и т.д., и надеть всем гномам шапки — белые и чёрные. После этого спросить всех по очереди, начиная с первого, какая у него на голове шапка. Если ответ будет правильный, гнома отпустят, если нет — съедят. Как гномам надо договориться, чтобы удалось спастись максимальному числу из них?

Решение

Первый гном должен сосчитать количество белых шапок, которые он видит и, если оно чётное, сказать «белая», если нечетное — «чёрная». Тогда все остальные гномы, услышав предыдущие ответы, смогут по очереди вычислить свой цвет и спасутся. Первого съедят в вероятностью 50%.

19.08.202021.08.2020

Точки пересечения

Сколько точек пересечения у графиков функций $y = a^x$ и $y = log_a{x}$ ?

Решение

Казалось бы ответ очевиден, при $a > 1$ могут быть две, или одна точка касания, или ни одной.

А вот когда $0 < a < 1$ ?

Тут уже не все так просто. На первый взгляд, графики всегда пересекаются ровно в одной точке.

Rendered by QuickLaTeX.com

Но давайте возьмем, например $a = 1/16$ , $x = 1/2$

${1/16}^{1/2} = 1/4$
$log_{1/16}{1/2} = 1/4$

Вот одна точка пересечения. Ну, а если взять $a = 1/16$ , $x = 1/4$

${1/16}^{1/4} = 1/2$
$log_{1/16}{1/4} = 1/2$

А вот и другая — что-то здесь не так. Оказывается при достаточно маленьких $a$ графики пересекаются в трех точках!

Rendered by QuickLaTeX.com

16.08.202021.08.2020

Поднятие веревки

Есть такая детская задачка: земной шар плотно плотно обвязали веревкой прямо по экватору. Потом в эту веревку в каком-то месте вставили еще метр и равномерно подняли над землей. Спрашивается, проползет ли теперь под веревкой муравей?

Решение

Ответ по началу кажется невероятным. Оказывается, веревка поднимется по всей длине земного экватора на целых $1m / 2\pi \approx 16cm$ .

А недавно мой племянник-математик подсказал новую вариацию на ту же тему: если отказаться от равномерного поднятия веревки надо всем экватором, а поднимать только в одном месте, в Африке, то сколько веревки надо вставить, чтобы там пролез слон?

Решение

Здесь уже без калькулятора не обойтись, но ответ тоже поразителен:

Если радиус Земли $R = 6 400 000m$ , а поднять мы хотим, скажем, на высоту $h = 10m$ (высота африканского слона не превышает пяти метров), то получится:

Длина касательной $s = \sqrt{\left(R+h\right)^{2}-R^{2}} \approx 11 313.713 m \approx 11.3km$

Угол между радиусами к точке касания и к точке поднятия $\alpha = \arctan \left(s/R\right) \approx 0.0017677658$

Длина куска веревки, который нужно вставить: $x = 2\left(s - R \alpha\right) \approx 0.023570209m \approx 2.4cm$